感覚的に理解していることを論理的に証明することの難しさ。

論理学をガリガリとやっているんですが、ようやく（？）最終局面として数学（主に算術ですが）の形式の証明に入りました。
そのうちわかるようになるんでしょうが、現在はこんなことをしております。
例えば交換法則の証明。
x+y=y+x
これが成立することを証明するんですが･･･
何度も何度も「明らか」とか書きたいんですが、それはプログラムが許してくれません。
こういうのもあります。
xy=0
これが成立するときxまたはyが0である。
ここまでくるとなんでそうなっているのかが疑問になってきます。
定義ではありません。数学としてそう決めたから。というのは使えないんです。
かけたら全てが0になる。むむぅ〜･･･
きっとそのうち解けてるはずです。
哲学な論理学で数学してますｗ